Rumus Determinan (Ekspansi Kofaktor) - KOMPUTASI ALJABAR LINEAR

Definisi Minor¶

M_{ij} = \det(A_{ij})

A_{ij} = \text{matriks yang diperoleh dari } A \text{ dengan menghapus baris ke-} i \text{ dan kolom ke-} j

Ekspansi Baris ke-i¶

\det(A) = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} \, a_{ij} \, \det(A_{ij})

Ekspansi Kolom ke-j¶

\det(A) = \sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+j} \, a_{ij} \, \det(A_{ij})

Matriks Tanda (Cofactor Sign Matrix)¶

\begin{pmatrix} + & - & + & - & + \\ - & + & - & + & - \\ + & - & + & - & + \\ - & + & - & + & - \\ + & - & + & - & + \end{pmatrix}

Kofaktor¶

C_{ij} = (-1)^{i+j} \det(A_{ij})

Adjoint Matriks¶

\text{adj}(A) = (C_{ij})^T

Hubungan Penting¶

A \cdot \text{adj}(A) = \text{adj}(A) \cdot A = (\det A) I

Invers Matriks¶

Jika:

\det(A) \neq 0

maka:

A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A)

Kasus Khusus 2×2 (Dasar)¶

A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}

\det(A) = ad - bc

\text{adj}(A) = \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}